移動現象論

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

非定常系

輸送の一般式

\[ \begin{alignedat}{10} J &=& &-k& &\nabla F \\ 流束 &\propto& & & & 駆動力 \end{alignedat} \]

※　駆動力があまり大きくないときに成り立つ現象論的な線形近似

\[ \tau_{xy} = -\mu \pd[v_x]{y} \]

\[ q = - \lambda \nabla T \]

\[ j = - D \nabla C \]

\[ j = - \sigma \nabla V \]

拡散

フィクスの第１法則

混合流体中のある成分の濃度場を \(C(x)\) とする．全ての分子はランダムに等方的に拡散する．ある微小面の両側に濃度勾配がある場合，等方的な拡散の結果として，濃度を均一にする方向に分子が動いたようにみえる．

濃度場 \(C\) と拡散流束 \(q\) とに

\[ q = -D \nabla C \]

\(D\) : 拡散係数

の関係（フィクスの第１法則）が見られる．

拡散方程式（フィクスの第２法則）

\[ \pd[C]{t} = \kappa_C \nabla^2 C \]

\(\kappa_C:=\frac{k_C}{\rho}\) : 質量拡散係数

静止した混合流体中に閉曲面 \(A\) と \(A\) に囲まれた閉領域 \(V\) をとる．

質量保存則より，\(V\) 内質量の増加量は \(A\) の表面からの流入量と等しいので，（\(n_A\) は外向きを正とする．最後の変形にガウスの発散定理を用いる．）

\[ \pd{t} \int_V \rho C dV = - \int_A q \cdot n_A dA = \int_A (k_C \nabla C) \cdot n_A dA = \int_V \nabla (k_C \nabla C) dV \]

\(V\) は任意なので，

\[ \rho \pd[C]{t} = k_C \nabla^2 C \]

拡散係数の導出

ブラウン運動から

フィクスの第１法則はブラウン運動のモデル（ランダムに分子が運動するモデル）で説明できて，

\[ D = \mu k_B T \]

\(\mu\) : 移動度

低レイノルズ数の液体を媒体とした球形粒子の拡散の場合，

\[ D = \frac{k_BT}{6\pi \eta r} \]

\(\eta\) : 動粘性係数

ボルツマン輸送方程式から

Chapman & Cowling (1939) を読むと良いらしい

位相空間上の分布関数 \(f(x,v,t)\)

状態が平衡状態 \(f_0\) に近いとき，緩和時間近似により，

\[ \pd[f]{t} + v \cdot \nabla f = -\frac{f-f_0}{\tau} \]

\(F=f-f_0\) として，

\[ \pd[F]{t} + \frac{F}{\tau} + v \cdot \nabla F = 0 \]

濃度場は

\[ C(x,t) = \iiint f(x,v,t) dv \]

拡散流束は

\[ q(x,t) = \iiint v f(x,v,t) dv \]

濃度場の勾配を求める

\(x\) 成分をみると

\[ \pd{x} C = \pd{x} \iiint f(x,v,t) dv_x dv_y dv_z \]

温度勾配による拡散

\[ q = -k_C\left[\nabla C + \frac{k_T}{T} \nabla T\right] \]

熱伝導

フーリエの法則

温度場 \(T\) と熱流束 \(q\) とに

\[ q = - k \nabla T \]

熱伝導係数 \(k\)

の関係（フーリエの法則）が見られる．

熱伝導方程式

\[ \pd[T]{t} = \kappa_T \nabla^2 T \]

温度拡散係数 \(\kappa_T:=\frac{k}{\rho C_p}\)

静止流体中に閉曲面 \(A\) と \(A\) に囲まれた閉領域 \(V\) をとる．

\(V\) 内の熱エネルギーの時間変化は

\[ \pd[Q]{t} = \int \rho C_P \pd[T]{t} dV \]

エネルギー保存則より，\(V\) 内エネルギーの増加量は \(A\) の表面からの流入量＋内部発熱 \(qV\) に等しい．内部発熱がない場合，

\[ \int \rho C_P \pd[T]{t} dV = - \int_A q \cdot n_A dA = \int_A (k \nabla T) dA = \int_V \nabla (k \nabla T) dV \]

\(V\) は任意なので，

\[ \rho C_P \pd[T]{t} = k \nabla^2 T \]

粘性