相対論的量子力学

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

ディラック方程式

\[ \left[i\hbar \gamma^\mu \pd{x^\mu}-mc\right] \psi(x) = 0 \tag{1} \]

シュレディンガー方程式との対応

\[ i \hbar \pd{t} \psi = H \psi \tag{2} \]

\[ H = \gamma^0 mc^2 + \gamma^0\gamma^i (-i\hbar \nabla)_i c \tag{3} \]

エネルギー

ハミルトニアンの固有関数を求めたい

\[ H\tilde{\psi}(x,E) = E\tilde{\psi}(x,E) \tag{4} \]

  1. エネルギー固有状態の時間発展は (2) より

\[ \psi(x,t) = \tilde{\psi}(x,E)e^{-iEt/\hbar} \tag{5} \]

  1. 運動量演算子 \(p=-i\hbar \nabla\) はハミルトニアンと可換なので同時固有関数が存在する

\[ \psi(x,t) = \omega(p,E) e^{i(p\cdot x-Et)/\hbar} \tag{6} \]

  1. に (6) を代入して両辺 \(E+\gamma mc^2+mc^2\gamma\gamma^i\) をかけて

\[ (E^2-m^2c^4-p^2c^2)\omega(p,E)=0 \]

\[ E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 \]

\(p=0\) （静止）

\[ (E-mc^2\gamma^0)\omega(0,E)=0 \]

\[ \begin{pmatrix} E-mc^2 & \\ & E+mc^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi \\ \zeta \end{pmatrix} = 0 \]

\[ \psi(x,t) = \begin{cases} \begin{pmatrix} \chi \\ 0 \end{pmatrix} e^{-imc^2t/\hbar} & (E=mc^2) \\ \begin{pmatrix} 0 \\ \chi \end{pmatrix} e^{imc^2t/\hbar} & (E=-mc^2) \\ \end{cases} \\ \chi = \begin{pmatrix} \chi_+ \\ \chi_- \\ \end{pmatrix} \]

\(p\neq 0\)

\[ \begin{pmatrix} E-mc^2 & -\sigma \cdot p c \\ -\sigma \cdot p c & E+mc^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi \\ \zeta \end{pmatrix} = 0 \]

\[ \psi(x,t) = \begin{cases} \begin{pmatrix} \chi \\ \frac{\sigma\cdot p c}{E+mc^2} \chi \end{pmatrix} e^{i(p\cdot x-Et)/\hbar} & (E>mc^2) \\ \begin{pmatrix} \frac{\sigma\cdot p c}{E-mc^2} \chi \\ \chi \end{pmatrix} e^{i(p\cdot x-Et)/\hbar} & (E<-mc^2) \\ \end{cases} \\ \chi = \begin{pmatrix} \chi_+ \\ \chi_- \\ \end{pmatrix} \]

ローレンツ変換不変性

\(\psi(x)\rightarrow\psi'(x')\) に対してディラック方程式がどうなるか

連続変換

反転変換

エネルギー

相対論のエネルギー式

\[ E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 \]

反粒子

負エネルギー解

時間逆行する粒子

スピン

量子場

1 粒子系の波動関数は状態 \(\alpha\) に対して

\[ \psi_\alpha(x)=\braket{x}{\alpha} \]

量子場とは演算子 \(\hat{\psi}(x)\)

\[ \psi_\alpha(x)=\braket{x}{\alpha} \]

ディラック場

生成消滅演算子

CPT 定理

スピノルの数学

パウリ行列

ガンマ行列

\[ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{pmatrix} \]

性質

\[ \begin{aligned} \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu &= g^{\mu\nu} \\ (\gamma^\mu)^\dagger &= g_\mu^\mu\gamma^\mu \\ (\gamma^\mu)^2 &= g_\mu^\mu \\ \gamma^\mu\gamma^\nu &= -\gamma^\nu\gamma^\mu \end{aligned} \]