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材料力学

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

引張・圧縮

ポアソン比

せん断

曲げ

オイラーベルヌーイの仮定

ねじり

たわみ

幾何条件

\[ ds = \rho ( -d \theta ) \]

\[ dx = \cos \theta ds \]

\[ \theta = \tan^{-1} \frac{dv}{dx} \]

\[ \frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{1+\left(\frac{dx}{dv}\right)^2} \]

\(\theta<<1\) のとき

\[ \frac{1}{\rho}=-\frac{d^2v}{dx^2} \]

曲げ応力

\[ \frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI} \]

たわみの基礎式

\[ \begin{aligned} \frac{d^2v}{dx^2} &= -\frac{M}{EI} \\ \theta &= \frac{dv}{dx} = -\int\frac{M}{EI}dx+C \\ v &= -\int\int\frac{M}{EI}dxdx+C_1x+C_2 \end{aligned} \]

座屈

• 圧縮荷重 \(P\)
• せん断力荷重 \(F_A,F_B\)
• モーメント \(M_A,M_B\)

曲げモーメント

\[ M(x)=M_A+Pv(x)+F_Ax \]

たわみの式

\[ \frac{d^2v}{dx^2}=-\frac{M}{EI}=-\frac{1}{EI}(M_A+Pv+F_Ax) \]

\(\alpha=\sqrt{P/EI}\) とすると，解は

\[ \begin{aligned} v(x) &= c_1 \sin\alpha x + c_2 \cos\alpha x - \frac{M_A}{P} - \frac{F_A}{P}x \\ \dot{v}(x) &= \alpha c_1 \cos \alpha x - \alpha c_2 \sin \alpha x - \frac{F_A}{P} \\ \ddot{v}(x) &= -\alpha^2( c_1 \sin \alpha x + c_2 \cos \alpha x) \end{aligned} \]

境界条件

回転-回転

A 回転端 \(v(0)=0,F_A=M_A=0\)

B 回転端 \(v(L)=0,F_B=M_B=0\)

\(n\) をパラメタとして，

\[ v=c_1\sin\frac{n\pi}{L}x \]

荷重は

\[ P=\alpha^2 EI=\frac{n^2\pi^2}{L^2}EI \]

\(n=1\) のときの \(P\) が限界荷重

\[ \begin{aligned} P_{CR} &= \frac{\pi^2}{L^2}EI \\ v_{CR} &= c_1\sin\frac{\pi}{L} \end{aligned} \]

\(c_1\) が残るので限界時の変位はわからん ← 見た目ではわからん

固定-自由

A 固定端 \(v(0)=\dot{v}(0)=0,F_A=0\)

B 自由端 \(v(L)=\delta,F_B=M_B=0\)

モーメントの釣り合いから \(M_A=-\delta P\)

\[ \begin{aligned} v &= -\delta \cos \alpha x + \delta \\ \dot{v} &= \delta \alpha \sin \alpha x \\ \ddot{v} &= \delta\alpha^2\cos\alpha x \end{aligned} \]

\(\cos\alpha L=0\) より \(\alpha L = \pi/2 \quad \mathrm{mod}\,\pi\)

\[ P_{CR}=\frac{\pi^2}{4L^2}EI \]

自由回転より弱い

固定-回転

固定-固定