\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}}
\newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}}
\newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}}
\newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}}
\newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}}
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}}
\newcommand{\Re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle}
\newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle}
\newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle}
\newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right}
\newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad}
\newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}}
\newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}}
\newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]
Book
登場人物
- \(v\) 速度
- \(\sigma\) 応力（面積力）
- \(K\) 体積力
連続体上の微分
連続体中の点を指定するには、初期状態での位置か、変位後の位置のどちらかを与えればいい（連続体の変位がわかれば変換できる）。連続体上の場は、初期位置をインデックスとして\(F(t,x_0)\)、または現在位置をインデックスとして\(f(t,x)\)と表現される。
\[
F(t,x_0)=f(t,x(x_0,t))
\]
\[
\f{d}{dt}F=\l(\pd{}{t}+\d{x_i}{t}\pd{}{x_i}\right)f
\]
\[
D_t:=\p_t+v_i\p_i
\]
保存則
質量保存則
\[
\begin{aligned}
\p_t\rho&+\p_i(\rho v_i)&=0\\
D_t\rho&+\rho\p_iv_i&=0
\end{aligned}
\]
運動量保存則（運動方程式）
\[
D_tv_i=\frac{1}{\rho}\p_j\sigma_{ji}+K_i
\]
エネルギー保存則
検査体積について、dt (運動エネルギー + 内部エネルギー) = 体積力による仕事率 + 面積力による仕事率 - 熱流束
\[
\d{}{t}\int_V \l(\f{1}{2}\rho v^2 + \rho\epsilon\r) dV = \int_V \l(\rho K \cdot v\r) dV + \int_S ((\sigma\cdot n)\cdot v) dS - \int_S (q \cdot n) dS
\]
\[
\begin{aligned}
D_t \l(\f{1}{2}\rho v^2\r)&=v_j\p_i\sigma_{ij}+\rho K_iv_i \\
D_t \l(\rho\epsilon\r) &= \sigma_{ij}\p_i v_j - \p_i q_i \\
D_t \l(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho\epsilon\r)&=\p_i(\sigma_{ij} v_i - q_i)+\rho K_iv_i \\
\end{aligned}
\]
