確率論

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

\[ \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\O}{\Omega} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \]

確率空間

測度空間 \((\O,\F,P)\) が \(P(\O)=1\) を満たすとき，確率空間という．

確率変数

\(X:\O\rightarrow\R\) が確率変数であるとは， \(X\) が \(\F\) -可測 であること

確率変数の\(P\)に関する積分を期待値

\[ E[X] = \int X(\omega) dP(\omega) \]

また \(A\in\F\) について

\[ E[X,A] = E[X1_A] \]

確率変数の加法族

\(\O\) 上の σ 加法族 \(\A\) が \(\A \subset \F\) となるとき部分 σ 加法族という

確率変数 \(X\) が \(\A\) -可測 とは，任意の \(A\in\B(\R)\) に対して \(X^{-1}(A) \in \A\)

確率変数に対して

\[ \sigma(X) = \{X^{-1}(A)|A\in\B(\R)\} \]

独立

部分 σ 加法族の列 \(\A_n\) が独立であるとは

\[ \forall n \quad \forall A_k\in\A_k \quad P(A_1 \cap \cdots A_n) = P(A_1)\cdots P(A_n) \]

確立変数 \(X_n\) が独立であるとは， \(\sigma(X_n)\) が独立であること

マルチンゲール理論

条件付期待値

\(\G\) を部分 σ 加法族とすると

  1. \(\G\) 可測
  2. \(\forall \A\in\G \quad E[X,A]=E[Y,A]\)

\(Y\) を \(X\) の \(\G\) の元での条件付き期待値といい， \(E[X|\G]\) と書く．

また同様に \(Y'\) も上の条件を満たすとき，\(Y=Y' a.s.\)

フィルトレーション

部分 σ 加法族の列 \(\mathbb{F}=(\F_n)_{n\in\N}\) がフィルトレーションであるとは，

\[ \forall n \quad \F_n\subset\F_{n+1} \]

確率変数の列を確率過程と呼ぶ．

マルチンゲール

フィルトレーション \(\bF\) に対して，確率過程 \(X\) が \(\bF\) -マルチンゲールであるとは

  1. \(X_n\in L^1\)
  2. \(X_n\) は \(\F_n\)-可測
  3. \(E[X_{n+1}|\F_n] = X_n a.s.\)