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測度論

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

\[ \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \]

測度論のお気持ち

• ルベーグ積分
  • リーマン積分を集合論から考える
  • 「無限」を集合論を通じて明確にしたい
  • その中で「測度」という概念が生まれた
  • 現代的な（集合論的な）解析学の基礎となっている
• 何がうれしいか
  • 無限がきちんと定義される
    • 積分と極限を簡単に入れ替えられる

可測空間

集合 \(S\) とその部分集合族 \(\Sigma\) の組 \((S,\Sigma)\) が可測空間であるとは，

1. 空集合を含む \(\emptyset \in \Sigma\)
2. 余集合について閉じている \(A\in\Sigma\Rightarrow A^C(=S\bs A) \in \Sigma\)
3. 和集合について閉じている \(A_i\subset\Sigma \Rightarrow \cup_i^\infty A_i\in\Sigma\)

\(\Sigma\) を σ 加法族という．

性質

• 全集合と空集合を含む
• 和集合・差集合・余集合・積集合について閉じている

基本的な集合演算について閉じた集合族になっている（逆にこれだけしか要請しないというのはすごい）

加法族の入れ方の例

• 最小の加法族
  • \(\Sigma=\{S,\emptyset\}\)
• １点 \(A \subset S\)
  • \(\Sigma=\{S,A,A^C,\emptyset\}\)

Borel 集合族

\(\R \cup \{\infty,-\infty\}\)が生成する加法族を \(\mathcal{B}(\R)\)　という

可測関数

\((S_1,\Sigma_1),(S_2,\Sigma_2)\) を可測空間とする．

写像 \(f : S_1\rightarrow S_2\) が \(\Sigma_1/\Sigma_2\) 可測であるとは，

\[ \forall A\in\Sigma_2 \quad f^{-1}(A) \in \Sigma_1 \]

加法族の引き戻しが加法族であること

※ これは位相空間で開集合を用いて連続を定義したのと同じ

実数への写像

性質

測度空間

可測空間 \((S,\Sigma)\) と写像 \(\mu: \Sigma \rightarrow [0,\infty]\) の組 \((S,\Sigma,\mu)\) が可測空間であるとは，

1. \(\mu(\emptyset)=0\)
2. 互いに素な集合 \(A_i \subset \Sigma\) について \(\mu(\cup_i^\infty A_i) = \sum_i^\infty \mu(A_i)\) （加算加法性）

\(\mu\) を測度という

ルベーグ測度

\((\R,\mathcal{B}(\R))\) 上の測度 \(\mu\) で

\[ \mu([a,b))=b-a \]

なる測度が唯一存在し，ルベーグ測度という

積分

\(\Sigma\) -可測関数 \(f:S\rightarrow\R\) に対して積分は

\[ \int f d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu \]

\(\int f d\mu \in \R\) のとき \(f\) を可積分という

ルベーグ積分

\(f:\R\rightarrow\R\) を \(\mathcal{B}(\R)\)-可測関数（ボレル可測関数）とする

\[ \int_a^b f(x) dx = \int f1_{[a,b]} dx \]

単調収束定理

\(\Sigma\)-可測な関数列 \(f_n\) が単調増加（\(\forall x \in S 0 \leq f_n(x) \leq f_{n+1}(x)\)）のとき

\[ \int f(x) d\mu(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} \int f_n(x)d\mu(x) \]

なる \(\Sigma\)-可測関数 \(f(x)\) が存在する

※ 収束先が \(\Sigma\) -可測関数上にある

ファトゥの定理

\[ \int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n(x) d\mu(x) \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n(x) d\mu(x) \]

ルベーグの優収束定理

\(\forall x\in S \exist f(x)=\lim f_n(x)\)

ある可積分関数 \(g\) に対し \(|f_n(x)|\leq g(x)\)

\[ \int f(x)d\mu(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} \int f_n(x) d\mu(x) \]

ディリクレ関数の積分

有理数の測度