多様体

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

\[ \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \]

位相空間

集合 \(X\) に対して，部分集合族 \(\O \subseteq 2^X\) が以下の性質を満たすとき \((X,\O)\) を位相空間という．

\(\O\) を位相といい，\(\O\) の元を閉集合という

ハウスドルフの分離公理

\[ \forall p,q \in X \, (p \neq q) \quad \exists U,V \in \O \, ( p \in U, q \in V ) \quad U \cap V = \emptyset \]

を満たすような位相空間 \((X,\O)\) をハウスドルフ空間という．

連続写像

位相空間 \((X,\O_X)\) \((Y,\O_Y)\) の写像 \(f : X \rightarrow Y\) が連続であるとは

\[ V\in\O_Y \Rightarrow f^{-1}(V) \in \O_X \]

同相

\(f\) が全単射かつ連続なとき同相 \(X \approx Y\)

位相の継承

位相空間の部分集合・直積・射影に位相を入れる方法．

ユークリッド空間

距離

\[ d : \R^m \times \R^m \rightarrow \R \]

近傍

\(a\in \R^m\) の \(\varepsilon > 0\) 近傍

\[ N_\varepsilon(a;\R^m) = \left\{ x\in \R^m \middle| d(x,a) < \varepsilon \right\} \]

開集合

\(U \subseteq \R^m\) が開集合であるとは，

\[ \forall a \in U \quad \exists \varepsilon > 0 \quad N_\varepsilon(a) \subset U \]

性質

収束

\(\{x_n\}_{n=1}^\infty \in \R^m\) が収束するとは，

\[ \exists a \in \R^m \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0 > 0 \quad n > n_0 \Rightarrow x_n \in N_\varepsilon(a) \]

開集合

\(C \subseteq \R^m\) が閉集合であるとは，

\(C\) 内の収束点列が \(C\) 内に収束すること．

性質

連続性

写像 \(f\) が \(a\) で連続であるとは，

\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad f(N_\delta(a)) \subset N_\varepsilon(f(a)) \]

すなわち，

\[ f^{-1}(N_\varepsilon(f(a))) \supset N_\delta(a) \]

多様体

局所的にユークリッド空間 \(\R^m\) と同相なハウスドルフ空間を \(m\)次多様体という．

局所座標系

\[ \varphi_M : U \in \O_M \rightarrow U' \in \O_{\R^m} \]

多様体上の関数（スカラー場）

\[ f : M \rightarrow \R \]

接空間

\(f\) を曲線を点 \(p \in M\) の接空間 \((x_1,,,x_m)\) 上の関数にする

\[ U_p \xrightarrow{\varphi_p} \R^m \rightarrow \R \]

多様体上の曲線

\[ c : \R \rightarrow M \]

局所座標上

曲線を点 \(p \in M\) での局所座標 \((x_1,,,x_m)\) で表すと \((c_1(t),,,c_m(t))\)

スカラー場の微分

\[ \R \xrightarrow{c} M \xrightarrow{f} \R \]

スカラー場を曲線に沿って微分する．

\[ \d{t}f(c(t)) \]

点 \(p \in M\) での微分は

\[ \d{t}f(c(t)) \]

接空間

ベクトル場

接続

リーマン多様体

リーマン計量を入れた多様体

リーマン計量

レビ-チルダ接続

捩率が 0 となる接続