フーリエ変換
フーリエ変換チートシート
フーリエ級数展開
周期 \(T\)
\[ a_n = \f{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\cos\f{2\pi nt}{T} dt \]
\[ b_n = \f{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\sin\f{2\pi nt}{T} dt \]
\[ f(t) = \f{a_0}{2} + \sum_n \l\{a_n\cos\f{2\pi nt}{T} + b_n\sin\f{2\pi nt}{T}\r\} \]
複素フーリエ級数展開
周期\(T\)
\[ c_n = \f{1}{T} \int_0^T \exp\l(-2\pi i\f{nt}{T}\r) dt \]
\[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \exp\l(2\pi i\f{nt}{T}\r) \]
フーリエ変換
\[ \F [f(t)] = \f{1}{\sqrt{2\pi}} \intinf f(t)\exp(-ikt) dt \]
\[ \F^{-1} [f(k)] = \f{1}{\sqrt{2\pi}} \intinf \exp(ikx) dk \]
微分演算子
\[ \begin{CD} f @>D>> Df \\ @V\F VV @VV \F V \\ \F f @>(ik)>> \F D f = (ik)\F f \end{CD} \]
畳み込み
\[ f*g=\intinf f(\tau)g(t-\tau) d\tau \]
\[ \begin{CD} f\otimes g @>*>> f*g \\ @V\F VV @VV \F V \\ \F[f]\otimes \F[g] @>\times>> \F[f*g] = \F[f]\F[g] \end{CD} \]
関数空間
正規直交系をなす関数集合 \(\{f_n\}\)
\[ \int f_i f_j dx = \delta_{ij} \]
を基底として
\[ f = \sum_n c_n f_n \]
と関数を表す．
フーリエ級数展開
パーシバルの関係式
波動方程式の解法
熱伝達方程式の解法
フーリエ変換
ガウス関数
\[ \begin{aligned} \F[\exp(-\alpha t^2)] &= \f{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-at^2) \exp(-i\omega t) dt \\ &= \f{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\l\{-a\l(t+\f{i\omega}{2\alpha}\r)^2-\f{\omega^2}{4\alpha}\r\} dt \\ &= \f{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\l(-\f{\omega^2}{4\alpha}\r) \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-a\tau^2) d\tau \\ &= \f{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\l(-\f{\omega^2}{4\alpha}\r) \sqrt{\f{\pi}{\alpha}} \\ &= \f{1}{\sqrt{2\alpha}} \exp\l(-\f{\omega^2}{4\alpha}\r) \end{aligned} \]
途中でガウス積分の公式
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx = \sqrt{\f{\pi}{a}} \]
を用いた。
求めたい積分を \(I=\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx\) とする。
\[ \begin{aligned} I^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) \exp(-ay^2) dx dy \\ &= \int_0^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi} \exp(-ar^2) r d\theta dr \\ &= 2\pi \int_0^{\infty} r\exp(-ar^2) dr\\ &= 2\pi \l[-\f{1}{2a} \exp(-ar^2)\r]_0^{\infty} \\ &= \f{\pi}{a} \end{aligned} \]
よって
\[ I=\sqrt{\f{\pi}{a}} \]