バネ・マス系

\[ \newcommand{dn}[3]{\frac{\mathrm{d}^{#3} #1}{\mathrm{d} #2^{#3}}} \newcommand{\d}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}} \newcommand{\dd}[2]{\frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d} {#2}^2}} \newcommand{\ddd}[2]{\frac{\mathrm{d}^3 #1}{\mathrm{d} {#2}^3}} \newcommand{\pdn}[3]{\frac{\partial^{#3} #1}{\partial {#2}^{#3}}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} \newcommand{\pddd}[2]{\frac{\partial^3 #1}{\partial {#2}^3}} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\D}[2]{\frac{\mathrm{D} #1}{\mathrm{D} #2}} \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left|#1 \right\rangle} \newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \middle|#2 \right\rangle} \newcommand{\inner}[2]{\left\langle #1 ,#2 \right\rangle} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\m}{\middle} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\L}{\mathcal{L}} \newcommand{\t}{\quad} \newcommand{\intinf}{\int_{-\infty}^{+\infty}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

1. 離散系

n+1 個のバネと n 個のマスからなる系 ↓ の運動を考える。

両端の壁の変位 \(u_0=u_{n+1}=0\)のときの平衡状態において、変位\(u_i\)が\(0\)となるように基準をとる。

1.1. ポテンシャル

\(u_i\) と \(u_{i+1}\) に挟まれたバネのポテンシャルエネルギーは、

\[ \phi_i = \f{1}{2}k(u_i-u_{i+1})^2 + \phi(a) \tag{1.1.1} \]

※ \(\phi(a)\) は定数

系全体のポテンシャルエネルギーは、

\[ \Phi(u_1,u_2,,,u_n) = \sum_{i=0}^{n} \f{1}{2}k(u_i-u_{i+1})^2 + \phi(a) \tag{1.1.2} \]

1.2. 運動方程式

ポテンシャルエネルギーから、運動方程式を導出する。詳細は解析力学参照。

\(u_i\) の運動方程式は、

\[ \begin{aligned} m\dd{}{t}u_i &= \pd{\Phi}{u_i} \\ &= \pd{}{u_i}\l\{\f{1}{2}k(u_{i-1}-u_i)^2+\f{1}{2}k(u_i-u_{i+1})^2\r\} \\ &= -k(u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}) \end{aligned} \tag{1.2.1} \]

1.3. 固有方程式

\[ \bm{u}=\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ : \\ u_{n-1} \\ u_{n} \end{bmatrix} \tag{1.3.1} \]

\[ A=\begin{bmatrix} -2 & 1 & & & \\ 1 & -2 & 1 & & \\ & 1 & -2 & 1 & \\ & & 1 & -2 & 1 \\ & & & 1 & -2 \\ \end{bmatrix} \tag{1.3.2} \]

とおくと、\((1.2.1)\)は、

\[ m\dd{}{t}\bm{u}=-kA\bm{u} \tag{1.3.3} \]

\[ \l(\dd{}{t}+\f{k}{m}A\r)\bm{u}=\bm{0} \tag{1.3.4} \]

1.4. 外力がある場合

\(i\) 番目のマスに外力 \(f_i(t)\) をかけた場合、\((1.2.1)\) は、

\[ \begin{aligned} m\dd{}{t}u_i &= f_i(t) + \pd{\Phi}{u_i} \\ &= f_i(t) - k(u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}) \end{aligned} \tag{1.4.1} \]

\((1.3.4)\) は、

\[ \l(\dd{}{t}+\f{k}{m}A\r)\bm{u}=\f{\bm{f}(t)}{m} \tag{1.4.2} \]

と書き換えられる。

1.5. *定数がバラバラの場合

質量 \(m_i\) バネ定数 \(k_i\) がバラバラの場合、\((1.1.2)\)は、

\[ \Phi(u_1,u_2,,,u_n) = \sum_{i=0}^{n} \f{1}{2}k_i(u_i-u_{i+1})^2 + \phi(a) \tag{1.5.1} \]

\((1.2.1)\) は、

\[ \begin{aligned} m\dd{}{t}u_i &= \pd{\Phi}{u_i} \\ &= \pd{}{u_i}\l\{\f{1}{2}k_{i-1}(u_{i-1}-u_i)^2+\f{1}{2}k_i(u_i-u_{i+1})^2\r\} \\ &= -k_{i-1}(u_{i-1}-u_i)+k_i(u_i-u_{i+1}) \end{aligned} \tag{1.5.2} \]

と書き換えられる。\((1.3.4)\) は、

\[ K=\begin{bmatrix} -k_0-k_1 & k_1 & & & \\ k_1 & -k_1-k_2 & k_2 & & \\ & k_2 & -k_2-k_3 & k_3 & \\ & & k_3 & -k_3-k_4 & k_4 \\ & & & k_4 & -k_4-k_5 \\ \end{bmatrix} \tag{1.5.3} \]

\[ M=\begin{bmatrix} m_1 & & & & \\ & m_2 & & & \\ & & m_3 & & \\ & & & m_4 & \\ & & & & m_5 \\ \end{bmatrix} \tag{1.5.4} \]

を用いて、

\[ \l(\dd{}{t}+KM^{-1}\r)\bm{u}=\bm{0} \tag{1.5.5} \]

と書き換えられる。

外力がある場合は、

\[ \l(\dd{}{t}+M^{-1}K\r)\bm{u}=M^{-1}\bm{f}(t) \tag{1.5.6} \]

1.6. 線形微分演算子

\((1.3.4)\) を解きたい。

連続系

まとめ

関数とベクトル、微分演算子と行列、微分方程式と固有方程式は対応する概念である

*マスが二原子分子の場合

定数がバラバラの場合